distribucion de probabilidades

Segundo documento de Distribucion de Probabilidades

2 TEORIA

¿Qué es una distribución de probabilidad?

Muestra todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada resultado.

¿Cómo generamos una distribución de probabilidad?

Supongamos que se quiere saber el numero de caras que se obtienen al lanzar cuatro veces una moneda al aire?

Es obvio que, el hecho de que la moneda caiga de costado se descarta.

Los posibles resultados son: cero caras, una cara, dos caras, tres caras y cuatro caras.

Si realizamos el experimento obtenemos el siguiente espacio muestral:

NUMERO DE CARAS	FRECUENCIA	DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
0	1	1/16
1	4	4/16
2	6	6/16
3	4	4/16
4	1	1/16

·         OBSERVACION

1.        La probabilidad de cada resultado especifico va desde cero hasta uno inclusive

2 VARIABLE ALEATORIA.-Cantidad que es resultado de un experimento y debido al azar, puede tomar valores diferentes.

Variable aleatoria discreta:- Toma valores claramente separados, generalmente se produce por conteo.

2.1Variable aleatoria continua:-Cantidades que toman infinitos valores, dentro de un rango permitido, generándose una distribución de probabilidades continuas.

2.2Media de una Distribución de Probabilidades.-Valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria, también es conocido como valor esperado. Esta media es un promedio ponderado, en el que los valores posibles se ponderan mediante sus probabilidades correspondientes de ocurrencia, se calcula con la formula:

1.        Donde P(X) es la probabilidad que puede tomar la variable aleatoria X.

2.3Varianza.- Mide el grado de dispersión de la distribución de probabilidades, siendo la formula:

...............................................(2)

También se aplica la fórmula:

................................................. (3)

Desviación Estándar.-Es la raíz cuadrad del varianza, luego:

..................................... (4)

3 DISTRIBUCIÓN DE LA PROBABILIDAD BINOMIAL

Esta distribución es la que mejor se ajusta a la distribución de probabilidades de variable discreta.

Si lanzamos dos monedas al aire, se tiene el siguiente espacio maestral:

Si p es la probabilidad de obtener una cara(c) al considerar una sola moneda y q la probabilidad de que salga sello(s); entonces p=q= ½; luego:

2

Con el binomio de Newton deducimos lo siguiente:

………………………………………………………………(5)

Luego, la distribución de probabilidad binimial esta dada por:

…………………………………….. (6)

Donde:

p: Probabilidad de éxito de cada ensayo.

n: Número de ensayos.

x: Número de exitos.

OBSERVACIÓN

(1)

(2)Si p=q=1/2, el histograma de las distribuciones binomiales son simétricas.

2.      

3.       Si el experimento se repite r veces con n ensayos ; entonces se tiene:

……………………………. (7)

Luego se deduce que:

………………………………. (8)

3.1 MEDIA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Esta dada por:

………………………………………. (9)

3.2VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

………………………………………………. (10)

4DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA

Estos son similares a las distribuciones acumuladas, así aplicamos para las distribuciones binomiales.

VARIABLE ALEATORIA X	P=0.60 Probabilidades
0	0.004
1	0.0037
2	0.0138
3	0.276.
4	0.311

P(x<=2)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)

5 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD HIPERGEOMETRICA

Esta distribución se aplica cuando el muestreo se realiza sin repetición y la probabilidad de éxito no permanece constante de un ensayo a otros calcula mediante la fórmula:

………………………… (12)

Donde:

N: Tamaño de la población

S: Cantidad de éxitos en la población

X: Número de éxitos en la muestra.

n : Tamaño de la muestra.

n>=0.05N

6 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON

Describe la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo determinado (tiempo, volumen, temperatura, etc...).La distribución se basa en dos supuestos:

1°) La probabilidad es proporcional a la extensión del intervalo.

2°) Los intervalos son independientes.

Esta distribución es una forma límite de la distribución binomial,cuando la probabilidad de éxito es bien pequeña y n es grande ,a esta distribución se llama "Ley de eventos improbables", lo cual significa que la probabilidad de p es bien pequeña .La probabilidad de Poisson es una probabilidad discreta; puesto que se forma por conteo

………………………. (13)

………………………………(14)

Donde:

Media del número de ocurrencias.

: Constante de Euler.

x : Número de ocurrencias

6.1Media:-Esta dado por:

.

8 APLICACION DE LA DISTRIBUSION BINOMIAL.

El almacenero del laboratorio de Ingeniería Electrónica reporta que de las treinta puntas de prueba de osciloscopios el 20% están malogradas, él desea saber la distribución de probabilidad de que estén malogradas 4 puntas de prueba.

Se aplica la fórmula (6).

P(x=4) =0.13252245.